Erstes Kapitel Vorbereitung. - Grundbegriffe.- 1. Orientierung uber die Mannigfaltigkeit der Loesungen.- 1. Beispiele.- 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funktionenscharen und -familien.- 2. Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Problem der AEquivalenz von Systemen und einzelnen Differentialgleichungen.- 2. Bestimmte, uberbestimmte, unterbestimmte Systeme.- 3. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen.- 1. Separation der Variablen.- 2. Erzeugung weiterer Loesungen durch Superposition. Grundloesung der Warmeleitung. Poissons Integral.- 4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhangigen Variablen. Das vollstandige Integral.- 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.- 2. Das vollstandige Integral.- 3. Singulare Integrale.- 5. Theorie der linearen und quasilinearen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.- 6. Die Legendresche Transformation.- 1. Legendresche Transformation fur Funktionen von zwei Veranderlichen.- 2. Die Legendresche Transformation fur Funktionen von n Variablen.- 3. Anwendung der Legendreschen Transformation auf partielle Differentialgleichungen.- 7. Die Bestimmung der Loesungen durch ihre Anfangswerte und der Existenzsatz.- 1. Formulierung und Erlauterung des Anfangswertproblems.- 2. Reduktion auf ein System von quasilinearen Differentialgleichungen.- 3. Die Bestimmung der Ableitungen langs der Anfangsmannigfaltigkeit.- 4. Existenzbeweis analytischer Loesungen von analytischen Differentialgleichungen.- Anhang zum ersten Kapitel.- 1. Die Differentialgleichung fur die Stutzfunktion einer Minimalflache.- 2. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen hoeherer Ordnung.- 3. Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 4. Darstellung der flachentreuen Abbildungen.- Zweites Kapitel Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Quasilineare Differentialgleichungen bei zwei unabhangigen Veranderlichen.- 1. Charakteristische Kurven.- 2. Anfangswertproblem.- 3. Beispiele.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen bei n unabhangigen Veranderlichen.- 3. Allgemeine Differentialgleichungen mit zwei unabhangigen Veranderlichen.- 1. Charakteristische Kurven und Fokalkurven.- 2. Loesung des Anfangswertproblems.- 3. Charakteristiken als Verzweigungselemente. Erganzende Bemerkungen. Integralkonoid.- 4. Zusammenhang mit der Theorie des vollstandigen Integrals.- 5. Fokalkurven und Mongesche Gleichung.- 6. Beispiele.- 1. Die Differentialgleichung (grad u) 2 = 1.- 2. Zweites Beispiel.- 3. Die Differentialgleichung von Clairaut.- 4. Die Differentialgleichung der Roehrenflachen.- 7. Allgemeine Differentialgleichung mit n unabhangigen Veranderlichen.- 8. Vollstandiges Integral und Hamilton-Jacobische Theorie.- 1. Enveloppenbildung und charakteristische Kurven.- 2. Die Kanonische Gestalt der charakteristischen Differentialgleichungen.- 3. Hamilton-Jacobische Theorie.- 4. Beispiel. Zweikoerperproblem.- 5. Beispiel. Geodatische Linien auf einem Ellipsoid.- 9. Hamiltonsche Theorie und Variationsrechnung.- 1. Die Eulerschen Differentialgleichungen in der kanonischen Form.- 2. Der geodatische Abstand oder das Eikonal, seine Ableitungen und die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung.- 3. Bemerkungen uber den Fall homogener Integranden.- 4. Extremalenfelder und Hamiltonsche Differentialgleichung.- 5. Strahlenkegel. Huyghens Konstruktion.- 6. Hilberts invariantes Integral zur Darstellung des Eikonals.- 7. Der Satz von HAMILTON und JAGoBI.- 10. Kanonische Transformationen und Anwendungen.- 1. Die kanonische Transformation.- 2. Neuer Beweis des Hamilton- Jacobischen Satzes.- 3. Variation der Konstanten (kanonische Stoerungstheorie).- Anhang zum zweiten Kapitel.- 1. Erneute Diskussion der charakteristischen Mannigfaltigkeiten.- 1. Formale Vorbemerkungen zur Differentiation in n Dimensionen.- 2. Anfangswertproblem und charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 2. Systeme quasilinearer Differentialgleichungen mit gleichem Hauptteil. Neue Herleitung der Charakteristikentheorie.- Literatur zum ersten und zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel Lineare Differentialgleichungen hoeherer Ordnung im allgemeinen.- 1. Normalformen bei linearen Differentialgleichungsausdrucken zweiter Ordnung mit zwei unabhangigen Veranderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische, parabolische Normalformen.- 2. Beispiele.- 2. Normalformen quasilinearer Differentialgleichungen.- 1. Normalformen.- 2. Beispiel. Minimalflachen.- 3. Klasseneinteilung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr unabhangigen Veranderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen.- 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 4. Differentialgleichungen hoeherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Differentialgleichungen hoeherer Ordnung.- 2. Typeneinteilung bei Systemen von Differentialgleichungen.- 3. Bemerkungen uber nichtlineare Probleme.- 5. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 1. Allgemeines.- 2. Ebene Wellen. Verzerrungsfreiheit. Dispersion.- 3. Beispiele: Telegraphengleichung, Verzerrungsfreiheit bei Kabeln.- 4. Zylinder- und Kugelwellen.- 6. Anfangswertprobleme, Ausstrahlungsprobleme.- 1. Anfangswertprobleme der Warmeleitung. Transformation der 6-Funktion.- 2. Anfangswertprobleme der Wellengleichung.- 3. Methode des Fourierschen Integrals zur Loesung von Anfangswertproblemen.- 4. Loesung der unhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten. Retardierte Potentiale.- 5. Das Anfangswertproblem fur die Wellengleichung in zwei Raumdimensionen. Absteigemethode.- 6. Das Ausstrallungsproblem.- 7. Ausbreitungsvorgange und Huyghenssches Prinzip.- 7. Die typischen Differentialgleichungsprobleme der mathematischen Physik.- 1. Vorbemerkungen. Beispiele typischer Problemstellungen.- 2. Grundsatzliche Betrachtungen.- Anhang zum dritten Kapitel.- Ausgleichsprobleme ulid Heavisides Operatorenkalkul.- 1. Ausgleichsprobleme und Loesung mittels Integraldarstellungen.- 1. Beispiel. Wellengleichung.- 2. Allgemeine Problemstellung.- 3. Integral von Duhamel.- 4. Methode der Superposition von Exponentialloesungen.- 2. Die Heavisidesche Operatorenmethode.- 1. Die einfachsten Operatoren.- 2. Beispiele.- 3. Anwendungen auf Ausgleichsprobleme.- 4. Wellengleichung.- 5. Methode zur Rechtfertigung des Operatorenkalkuls. Realisierung weiterer Operatoren.- 3. Zur allgemeinen Theorie der Ausgleichsprobleme.- 1. Die Transformation von Laplace.- 2. Loesung der Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Laplaceschen Transformation.- 3. Beispiele.- Literatur zum Anhang des dritten Kapitels.- Viertes Kapitel Elliptische Differentialgleichungen, insbesondere Potentialtheorie.- 1. Vorbemerkungen.- 1. Die Differentialgleichungen von Laplace, Poisson und verwandte Differentialgleichungen.- 2. Potentiale von Massenbelegungen.- 3. Greensche Formeln und Anwendungen.- 4. Die Ableitungen der Belegungspotentiale.- 2. Poissons Integral und Folgerungen..- 1. Randwertaufgabe und Greensche Funktion.- 2. Greensche Funktion fur Kreis und Kugel. Das Poissonsche Integral fur Kugel und Halbraum.- 3. Folgerungen aus der Poissonschen Formel.- 3. Der Mittelwertsatz und Anwendungen.- 1. Homogene und unhomogene Mittelwertgleichung.- 2. Umkehrung der Mittelwertsatze.- 3. Die Poissonsche Gleichung fur Potentiale von Raumbelegungen.- 4. Mittelwertsatze fur andere elliptische Differentialgleichungen.- 4. Die Randwertaufgabe.- 1. Vorbemerkungen. Stetige Abhangigkeit von den Randwerten und vom Gebiet.- 2. Loesung der Randwertaufgabe mit Hilfe des alternierenden Verfahrens.- 3. Die Integralgleichungsmethode fur Gebiete mit hinreichend glatten Randern.- 4. Weitere Bemerkungen zur Randwertaufgabe.- 5. Randwertaufgaben fur allgemeinere elliptische Differentialgleichungen; eindeutige Bestimmtheit der Loesungen.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.- 3. Ein Satz von Rellich uber die Differentialgleichung von Monge-Ampere.- 6. Die Integralgleichungsmethode zur Loesung elliptischer Differentialgleichungen.- 1. Konstruktion von Loesungen uberhaupt. Grundloesungen.- 2. Die Randwertaufgabe.- Anhang zum vierten Kapitel.- 1. Verallgemeinerung der Randwertaufgabe. Satze von Wiener.- 2. Nichtlineare Differentialgleichungen.- Lehrbuchliteratur zum vierten Kapitel.- Funftes Kapitel Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhangigen Veranderlichen.- 1. Die Charakteristiken bei quasilinearen Differentialgleichungen.- 1. Definition der Charakteristiken.- 2. Charakteristiken auf Integralflachen.- 3. Charakteristiken als Unstetigkeitslinien. Wellenfronten.- 2. Charakteristiken fur allgemeine Differentialgleichungsprobleme.- 1. Allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Differentialgleichungen hoeherer Ordnung.- 3. Systeme von Differentialgleichungen.- 4. Invarianz der Charakteristiken gegenuber beliebigen Punkttransformationen.- 5. Beispiele aus der Hydrodynamik.- 3. Eindeutigkeit und Abhangigkeitsgebiet.- 1. Grundsatzliches uber Ausbreitungsvorgange.- 2. Eindeutigkeitsbeweise.- 4. Die Riemannsche Integrationsmethode.- 1. Riemanns Darstellungsformel.- 2. Erganzende Bemerkungen.- 3. Beispiel, Telegraphengleichung.- 5. Die Loesungen der Differentialgleichung uxy = f (x, y, u, ux, uy) nach dem Picardschen Iterationsverfahren.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Loesung der Anfangswertprobleme.- 3. Eindeutige Bestimmtheit der Loesung.- 4. Stetige und differenzierbare Abhangigkeit von Parametern.- 5. Das Abhangigkeitsgebiet der Loesung.- 6. Verallgemeinerungen und Anwendung auf Systeme erster Ordnung.- 1. Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichem linearen Hauptteil.- 2. Kanonisch-hyperbolische Systeme erster Ordnung.- 7. Die allgemeine quasilineare Gleichung zweiter Ordnung.- 1. Das vollstandige System der charakteristischen Differentialgleichungen.- 2. Loesung des Anfangswertproblems.- 8. Die allgemeine Gleichung F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0.- 1. Quasilineare Systeme mit gleichem Hauptteil.- 2. Loesung des Anfangswertproblems im allgemeinen Fall.- Anhang zum funften Kapitel.- 1. Einfuhrung komplexer Groessen. UEbergang vom hyperbolischen zum elliptischen Fall durch komplexe Variable.- 2. Der analytische Charakter der Loesungen im elliptischen Fall.- 1. Funktionentheoretische Vorbemerkung.- 2. Analytischer Charakter der Loesungen von ? u = f (x, y, u, p, q).- 3. Bemerkung uber den allgemeinen Fall.- 3. Weitere Bemerkungen zur Charakteristikentheorie bei zwei Veranderlichen.- 4. Sonderstellung der Monge-Ampereschen Gleichungen.- Sechstes Kapitel Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhangigen Veranderlichen.- 1. Die charakteristische Gleichung.- 1. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Lineare Differentialgleichungen. Charakteristische Strahlen.- 2. Charakteristische Mannigfaltigkeiten als Unstetigkeitsflachen von Loesungen. - Wellenfronten.- 1. Unstetigkeiten zweiter Ordnung.- 2. Wellenfronten bei linearen Differentialgleichungen als Trager hoeherer Unstetigkeiten.- 3. Die Differentialgleichung langs einer charakteristischen Mannigfaltigkeit. Ausbreitung der Unstetigkeiten langs der Strahlen.- 4. Physikalische Deutung. Schattengrenzen S.- 5. Strahlenkonoid. Zusammenhang mit der Riemannschen Massbestimmung.- 6. Die Huygensche Konstruktion der Wellenfronten. Strahlenkegel und Richtungsausbreitung.- 7. Strahlen- und Normalenkegel.- 8. Beispiel. Die Poissonsche Wellengleichung in drei Raumdimensionen.- 3. Charakteristiken bei Problemen hoeherer Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen hoeherer Ordnung.- 2. Systeme von Differentialgleichungen. Hydrodynamik.- 3. Weitere Systeme. Krystalloptik.- 4. Eindeutigkeitssatze und Abhangigkeitsgebiet bei Anfangswertproblemen.- 1. Die Wellengleichung.- 2. Die Differentialgleichung % MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaBa % aaleaacaWG0bGaamiDaaqabaGccqGHsislcqGHuoarcaWG1bGaey4k % aSYaaSaaaeaacqaH7oaBaeaacaWG0baaaiaadwhadaWgaaWcbaGaam % iDaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaaaa!43EB! $$ {u_{tt}} - \\Delta u + \\frac{\\lambda }{t}{u_t} = 0 $$ (Darboux).- 3. Maxwellsche Gleichungen t im AEther.- 4. Eindeutigkeit und Abhangigkeitsgebiet bei den Differentialgleichungen der Krystalloptik.- 5. Bemerkungen uber Abhangigkeits- und Wirkungsgebiete. Notwendigkeit des konvexen Charakters von Abhangigkeitsgebieten.- 5. Hyperbolische lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1. Konstruktion der Loesung.- 2. Bemerkungen uber die Absteigemethode.- 3. Nahere Diskussion der Loesungen. Prinzip von Huyghens.- 4. Verifikation der Loesung.- 5. Integration der unhomogenen Gleichung.- 6. Das Ausstrahlungsproblem.- 7. Das Anfangswertproblem fur die Gleichung ? u + c2u = utt und fur die Telegraphengleichung.- 6. Mittelwertmethode Wellengleichung und Gleichung von Darboux.- 1. Die Darbouxsche Differentialgleichung fur Mittelwerte.- 2. Zusammenhang mit der Wellengleichung und Aufloesung der Wellengleichung.- 3. Das Ausstrahlungsproblem der Wellengleichung.- 4. Ein Satz von Friedrichs.- 7. Ultrahyperbolische Differentialgleichungen und allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1. Der allgemeine Mittelwertsatz von Asgeirsson.- 2. Anderer Beweis des Mittelwertsatzes.- 3. Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Wellengleichung.- 4. Loesungen des charakteristischen Anfangswertproblems der Wellengleichung.- 5. Andere Anwendungen des Mittelwertsatzes.- 8. Betrachtungen uber nichthyperbolische Anfangswertprobleme.- 1. Bestimmung einer Funktion aus gewissen Kugelmittelwerten.- 2. Anwendungen auf das Anfangswertproblem.- 9. Die Methode von Hadamard zur Loesung des Anfangswertproblems.- 1. Vorbemerkungen. Grundloesung. Allgemeine Methode.- 2. Die allgemeine Wellengleichung in m = 2 Raumdimensionen.- 3. Die verallgemeinerte Wellengleichung in m = 3 Raumdimensionen.- 10. Bemerkungen uber den Wellenbegriff und das Ausstrahlungsproblem.- 1. Allgemeines. Verzerrungsfreie fortschreitende Wellen.- 2. Spharische Wellen.- 3. Ausstrahlung und Huygenssches Prinzip.- Anhang zum sechsten Kapitel.- 1. Die Differentialgleichungen der Krystalloptik.- 1. Normalen- und Strahlenflache der Krystalloptik.- 2. Gestalt der Normalenflache.- 3. Die Strahlenflache.- 4. Reduktion des Differentialgleichungssystems auf eine Differentialgleichung sechster Ordnung bzw. vierter Ordnung.- 5. Explizite Loesung durch die Fouriersche Methode.- 6. Diskussion des loesenden Kernes K.- 7. Optische Anwendung. Konische Refraktion.- 2. Abhangigkeitsgebiete bei Problemen hoeherer Ordnung.- 3. Huyghens Prinzip im weiteren Sinne und fortsetzbare Anfangsbedingungen.- 4. Ersetzung von Differentialgleichungen durch Integralrelationen. Erweiterung des Charakteristikenbegriffes.- Siebentes Kapitel Loesung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung.- 1. Vorbereitungen.- 1. Das Dirichletsche Prinzip fur den Kreis.- 2. Allgemeine Problemstellungen.- 3. Lineare Funktionenraume mit quadratischer Metrik. Definitionen.- 4. Randbedingungen.- 2. Die erste Randwertaufgabe.- 1. Problemstellung.- 2. Greensche Formel. Hauptungleichung zwischen D und H. Eindeutigkeit.- 3. Minimalfolgen und Loesung des Randwertproblems.- 3. Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten.- 1. Integralungleichungen.- 2. Das erste Eigenwertproblem.- 3. Hoehere Eigenwerte und -funktionen. Vollstandigkeit.- 4. Annahme der Randwerte bei zwei unabhangigen Veranderlichen.- 5. Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der Integrale E, D, H.- 1. Konstruktion der Grenzfunktionen.- 2. Konvergenzeigenschaften der Integrale D und H.- 6. Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe.- 1. Greensche Formel und Randbedingungen.- 2. Formulierung des Randwertproblems und Variationsproblems.- 3. Einschrankung der Klasse zulassiger Gebiete.- 4. AEquivalenz von Minimumproblem und Randwertproblem. Eindeutigkeit.- 5. Loesung des Variationsproblems und Randwertproblems.- 7. Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung.- 8. Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde gelegten Gebiete.- 1. Gebiete vom Typus N.- 2. Notwendigkeit von einschrankenden Bedingungen fur das Gebiet.- 9. Erganzungen und Aufgaben.- 1. Die Greensche Funktion von ? u.- 2. Dipolsingularitat.- 3. Randverhalten bei ? u = 0 und zwei unabhangigen Veranderlichen fur die zweite Randbedingung.- 4. Stetige Abhangigkeit vom Gebiet.- 5. UEbertragung der Theorie auf unendlich ausgedehnte Gebiete G.- 6. Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen vierter Ordnung. Transversaldeformation und Schwingungen von Platten.- 7. Erste Randwert- und Eigenwertaufgabe der Elastizitatstheorie bei zwei Dimensionen.- 8. Andere Methode zur Konstruktion der Grenzfunktion.- 10. Das Problem von Plateau.- 1. Problemstellung und Ansatz zur Loesung.- 2. Beweis der Variationsrelationen.- 3. Existenz der Loesung des Variationsproblems.- Erganzende Literaturangaben.- Namen- und Sachverzeichnis.- Kurzbiographien.
