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Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel Vorbereitungen.- 1. Das Zahlenkontinuum Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Er- weiterung S. 3. - Das. Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbruche S. 6. - Ungleichungen S. 8..- 2. Der Funktionsbegriff Beispiele S. 9. - Begriffliche Formulierung S. 10 - Geometrische Dar- stellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen S. 11 - Umkehrfunktionen S.15..- 3. Nahere Betrachtung der elementaren Funktionen Die rationalen Funktionen S. 16 - Algebraische Funktionen S. 18 - Die trigonometrischen Funktionen S. 19. - Exponentialfunktion und Logarithmus S. 20..- 4. Funktionen einer ganzzahligen Veranderlichen-Zahlenfolgen-Vol- standige Induktion Definition und Beispiele S. 21 - Das Prinzip der vollstandigen Induk- tion S. 22 - Beispiel: Die Summe der ersten n Quadrate S. 24..- 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele $${a_n} = {1 \\over n}$$ S.25. - $${a_{2m}} = {1 \\over m}$$; $${a_{2m - 1}} = {1 \\over {2m}}$$ S. 26. - $${a_n} = {n \\over {n + 1}}$$ S. 27. - $${a_n} = \\root n \\of p $$ S. 27. - $${a_n} = {\\alpha ^n}$$ S. 29 - Zur geometrischen Ver- anschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$\\root n \\of p $$ S. 30 - Die geometrische Reihe S. 31. - $${a_n} = \\root n \\of n $$ S. 32. - $${a_n} = \\sqrt {n + 1} - \\sqrt n $$ S. 32. - $${a_n} = {n \\over {{a_n}}}$$ S.33..- 6. Genauere Eroerterung des Grenzwertbegriffes Definition der Konvergenz S. 33 - Zweite Definition der Konvergenz S. 35 - Monotone Folgen S. 36 -Rechnen mit Grenzwerten S. 37 - Die Zahl e S. 38 - Beweis der Irrationalitat von e. S. 40 - Die Zahl ? als Grenzwert S. 40 - Das arithmetisch-geometrische Mittel S. 41 - Motivierung der prazisen Grenzwertdefinition S. 42..- 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veranderlichen Definitionen und Beispiele S. 43 - Motivierung der Begriffsbildung S.45..- 8. Der Begriff der Stetigkeit Definitionen S. 47 - Unstetigkeitspunkte S. 48 - Satze uber stetige Funktionen S. 52..- Anhang I zum ersten Kapitel Vorbemerkungen.- 1. Das Haufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen Das Haufungsstellen-Prinzip S. 54 - Intervallschachtelung und Zahlen- kontinuum S. 55 - Grenzwerte von Zahlenfolgen S. 56 - Beweis des CAUCHYSchen Konvergenzkriteriums S. 58 - Oberer und unterer Hau- fungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge S. 59..- 2. Satze uber stetige Funktionen Groe?ter und kleinster Wert stetiger Funktionen S. 60 - Die Gleich- ma?igkeit der Stetigkeit S. 61 - Der Zwischenwertsatz S. 63 - Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion S. 64 - Weitere Satze uber stetige Funktionen S. 65..- 3. Bemerkungen uber die elementaren Funktionen.- Anhang II zum ersten Kapitel.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Bemerkungen uber komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- 1. Das bestimmte Integral Das Integral als Flacheninhalt S. 71 - Die analytische Definition des Integrales S. 72 - Erganzungen, Bezeichnungen und Grundregeln fur das bestimmte Integral S. 74..- 2. Beispiele Erstes Beispiel S. 76 - Zweites Beispiel S. 77 - Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen ? S. 78 - Integration von x? fur beliebiges rationales ? ?-1 S. 79 - Integration von sin x und cos x S. 80..- 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient Differentialquotient und Kurventangente S. 82 - Der Differentialquotient als Geschwindigkeit S. 85.-Beispiele S. 86 - Einige Grundregeln fur die Differentiation S. 89.-Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen S. 89 - Hoehere Ableitungen und ihre Bedeutung S. 91 - Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von LEIBNIZ S. 92 - Der Mittelwertsatz S. 94 - Angenaherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare - Differentiale S. 97 - Be- merkungen uber die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissen- schaft S. 98..- 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsatze der Differential- und Integralrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze S. 100 - Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales S. 101 - Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales S. 103 - Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausfuhrung bestimmter Integrale S. 106 - Einige Beispiele S. 107..- 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- 6. Weitere Bemerkungen uber den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten Die Massen Verteilung und Dichte; Gesamtquantitat und spezifische Quantitat S. 110 - Gesichtspunkte der Anwendungen S. 112..- 7. Integralabschatzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung S. 114 - Anwendung: Integration und Differentiation von x? S. 117..- Anhang zum zweiten Kapitel.- 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen Differentiationsregeln S. 122 - Differentiation der rationalen Funktionen S. 124 - Differentiation der trigonometrischen Funktionen S. 125..- 2. Die entsprechenden Integralformeln Allgemeine Integrationsregeln S. 126 - Integration der einfachsten Funktionen S. 127..- 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient Die allgemeine Differentiationsformel S. 128 - Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen S. 130 - Die zugehoerigen Integralformeln S. 134..- 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen Die Kettenregel S. 135 - Beispiele S. 137 - Nochmals Integration und Differentiation von x? fur irrationales ? S. 138..- 5. Maxima und Minima Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexitat) S. 140 - Maxima und Minima S. 141 - Beispiele fur Maxima und Minima S. 144..- 6. Logarithmus und Exponentialfunktion Definition des Logarithmus. Differentiationsformel S. 148 - Das Additionstheorem S. 150 - Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus S. 151 - Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion) S. 151 - Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x? S. 153 - Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte S. 154 - Schlu?bemerkungen S. 156..- 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung S. 157 - Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall S. 158. - Abkuhlung oder Erwarmung eines Koerpers in einem umgebenden Medium S. 159 - Abhangigkeit des Luftdruckes von der Hoehe uber dem Erdboden S. 160 - Verlauf chemischer Reaktionen S. 161 - Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes S. 162..- 8. Die Hyperbelfunktionen Analytische Definition S. 163 - Additionstheoreme und Differentiationsformeln S. 164.-Die Umkehrfunktionen S. 165.-Weitere Analogien S. 166..- 9. Die Groe?enordnung von Funktionen Begriff der Groe?enordnung. Einfachste Falle S. 168 - Die Groe?enordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus S. 169.-Allgemeine Bemerkungen S. 171 - Die Groe?enordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes S. 171 - Groe?enordnung des Verschwindens einer Funktion S. 172..- Anhang zum dritten Kapitel.- 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \\over {{x^2}}}}}$$ S. 173. -Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \\over x}}}$$. 174. - Die Funktion $$y = {L_g}{1 \\over x}$$ S. 174. -Die Funktion $$y = x{L_g}{1 \\over x}$$ S. 175. - Die Funktion $$y = x\\sin {1 \\over x}$$; y(0) = 0 S. 176..- 2. Bemerkungen uber die Differenzierbarkeit von Funktionen.- 3. Verschiedene Einzelheiten Beweis des binomischen Satzes S. 177 - Fortgesetzte Differentiation S. 178 - Weitere Beispiele fur Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz S. 179..- Viertes Kapitel Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- 2. Die Substitutionsregel Die Substitutionsformel S. 182 - Neuer Beweis der Substitutionsformel S. 186 - Beispiele. Integrationsformeln S. 187..- 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- 4. Die Produktintegration Allgemeines S. 191 - Beispiele S. 193 - Rekursionsformeln S. 194. - Die WALLissche Produktzerlegung von ? S. 195..- 5. Integration der rationalen Funktionen Aufstellung der Grundtypen S. 198 - Integration der Grundtypen S. 199 - Die Partialbruchzerlegung S. 200 - Beispiel. Chemische Reaktionen S. 202 - Weitere Beispiele fur Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten) S. 203..- 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen Vorbemerkungen uber die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen S. 205.-Integration von R(cos x, sin x) S. 207 - Integration von $$R\\left( {a\\,{\\rm{of}}\\,x,\\,\\sin x} \\right)$$ S. 207 - Integration von R($$x,\\,\\sqrt {1 - {x^2}} $$) S. 207 - Integration von R($$x,\\,\\sqrt {{x^2} - 1}$$) S. 208 - Integration von R ($$x,\\,\\sqrt {{x^2} + 1}$$) S. 208 - Integration von R ($$x,\\,\\sqrt {a{x^2} + 2bx + c} $$) S. 208 - Weitere Beispiele fur Zuruckfuhrung auf Integrale rationaler Funktionen S. 209 - Bemerkungen zu den Beispielen S. 210..- 7. Bemerkungen uber Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren Funktionen integrieren lassen Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale S. 211. - Grundsatzliches uber Differentiation und Integration S. 213..- 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale Funktionen mit Sprungstellen S. 214 - Funktionen mit Unendlichkeitsstellen S. 214 - Unendliches Integrationsintervall S. 217..- Anhang zum vierten Kapitel.- Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung..- Funftes Kapitel Anwendungen.- 1. Darstellung von Kurven Die Parameterdarstellung S. 223-Die zu einer Kurve gehoerigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung S. 226 - ubergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung S. 228 - Allgemeine Bemerkungen S. 229..- 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven Der Flacheninhalt in rechtwinkligen Koordinaten S. 230 - Die Unabhangigkeit vom Koordinatensystem S. 235.-Beispiel: Ellipse S. 236 - Flacheninhalt in Polarkoordinaten S. 236 - Lange einer Kurve S. 237 - Krummung S. 241 - Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve S. 243 - Flacheninhalt und Volumen einer Rotationsflache S. 244 - Tragheitsmoment S. 245..- 3. Beispiele Die Zykloide S. 246 - Kettenlinie S. 247.-Ellipse und Lemniskate S. 248..- 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik Grundvoraussetzungen aus der Mechanik S. 249. -Freier Fall. Reibung S. 251 - Die einfachste elastische Schwingung S. 253.-Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve S. 254..- 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve Allgemeines S. 256 - Diskussion der Bewegung S. 258 - Das gewoehnliche Pendel S. 259. -Das Zykloidenpendel S. 260..- 6. Arbeit Allgemeines S. 261 - Erstes Beispiel. Massenanziehung S. 263 - Zweites Beispiel. Spannen einer Feder S. 264 - Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators S. 264..- Anhang zum funften Kapitel.- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel Die TAYLORsche Formel und die Annaherung von Funktionen durch ganze rationale.- 1. Der Logarithmus und der Arcustangens Der Logarithmus S. 268 - Der Arcustangens S. 271..- 2. Die allgemeine TAYLORsche Formel Die TAYLORsche Formel fur ganze rationale Funktionen S. 272 - Die TAYLORsche Formel fur eine beliebige Funktion S. 273 - Abschatzung des Restgliedes S. 276..- 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen Die Exponentialfunktion. Irrationalitat von e S. 278 - sin x, cos x, $$\\sin x,\\,a\\,{\\rm{of}}\\,x$$ S. 280 - Die binomische Reihe. Ein allgmeiner Satz uber Konvergenz der TAYLORschen Reihe einer Funktion mit nicht negativen Ableitungen aller Ordnungen S. 281..- 4, Geometrische Anwendungen Beruhrung von Kurven S. 285--Der Krummungskreis als Osku- lationskreis S. 287 - Zur Theorie der Maxima und Minima S. 287..- Anhang zum sechsten Kapitel.- 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine TAYLORsche Reihe la?t.- 2. Approximation beliebiger stetiger Funktionen durch Polynome und trigonometrische Summen Der Satz von WEIERSTRASS S. 289. - Approximation von |x| S. 289. - Beweis des WEIERSTRASSschen Approximationssatzes S. 291.- Anwendungen, - Trigonometrische Approximation S. 292..- 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sog. unbestimmte Ausdrucke.- 4. Interpolation Problemstellung und Vorbemerkungen S. 296 - Konstruktion der Loesung. Die NEWTONScheInterpolationsformel S.298 - Restabschatzung S. 300. - Die Interpolationsformel von LAGRANGE S. 302.296.- Siebentes Kapitel Exkurs uber numerische Methoden Vorbemerkungen.- 1. Numerische Integration Rechtecksregel S. 303. -Trapezformel und Tangentenformel. S. 304 - Die SIMPSONSche Regel S. 304 - Beispiele S. 305. - Fehlerabschatzung S. 306..- 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des TAYLORschen Satzes Die Fehlerrechnung S. 308. - Berechnung von A S. 310. - Berechnung der Logarithmen S. 311..- 3. Numerische Aufloesung von Gleichungen Das Verfahren von NEWTON S. 312 - Regula falsi S. 314 - Beispiel S. 315. -Das Iterationsprinzip S. 315..- Anhang zum siebenten Kapitel.- Die STIRLINGsche Formel.- Achtes Kapitel Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse Vorbemerkungen.- 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz Grundbegriffe S. 321. -Absolute und bedingte Konvergenz S. 323. - Umordnung der Reihenglieder S. 326. - Das Rechnen mit unendlichen Reihen S. 329..- 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz Das Prinzip der Reihenvergleichung S. 330. -Vergleichung mit der geometrischen Reihe S. 331.- Vergleichung mit einem Integral S. 333..- 3. Grenzubergange und Reihen von Funktionen einer Veranderlichen Allgemeines S. 335 - Grenzubergange mit Funktionen und Kurven S.336..- 4. Gleichma?ige und ungleichma?ige Konvergenz Allgemeines und Beispiele S. 338 - Kriterium der gleichma?igen Konvergenz S. 342 - Stetigkeit gleichma?ig konvergenter Reihen stetiger Funktionen S. 344 - Die Integration gleichma?ig konvergenter Reihen S. 345 - Differentiation unendlicher Reihen S. 346..- 5. Potenzreihen Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe S. 348 - Die Integration und Differentiation von Potenzreihen S. 350.- Das Rechnen mit Potenzreihen S. 351 - Eindeutigkeitssatz fur die Potenzreihen S. 352..- 6. Entwicklung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele Die Exponentialfunktion S. 354 - Die binomische Reihe S. 354 - Die Reihe fur arc sin x S. 356 - Die Potenzreihenentwicklung von $${\\rm{ur s n }}x = \\log \\left( {x + \\sqrt {1 + {x^2}} } \\right)$$ S. 356 - Beispiel fur Reihenmultiplikation S. 357 - Beispiel fur gliedweises Integrieren. Elliptisches Integral s. 357..- 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern Einfuhrung komplexer Glieder in Potenzreihen S. 358 - Ausblick auf die allgemeine Theorie analytischer Funktionen S. 360..- Anhang zum achten Kapitel.- 1. Multiplikation und Division von Reihen Multiplikation absolut konvergenter Reihen S. 361. -Multiplikation und Division von Potenzreihen S. 362..- 2. Grenzubergange, die mit der Exponentialfunktion zusammenhangen Die Gleichma?igkeit des Grenzuberganges $${\\left( {1 + {x \\over n}} \\right)^n} \\to {e^x}$$ S. 363.-Bemerkung uber Integration und Differentiation der Exponentialfunktion S.365. -Beweis der Formel $$\\int\\limits_0^\\infty {{e^{ - {x^2}}}dx = {1 \\over 2}\\sqrt \\pi } $$ S. 365..- 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- 4. unenduche Produkte.- 5. Weitere Beispiele fur unendliche Reihen Verschiedene Entwicklungen S. 370..- Neuntes Kapitel Fouriersche Reihen.- 1. Die periodischen Funktionen Allgemeines S. 373 - Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertoene. Schwebungen S. 376..- 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise Allgemeine Bemerkungen S. 380 - Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom S. 381 - Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen S. 383 - Ableitung einer trigonometrischen Formel S. 383..- 3. Beispiele fur die FOURlERsche Reihe Form der FOURIERschen Reihenentwicklung S. 384 - Entwicklung der Funktionen ?(x)-x und ?(x)=x2 S. 386 - Entwicklung der Funktion x cos x S. 387. -f(x) = f|x| S. 388. - 5. Beispiel S. 389. - f(x) = |sinx| S. 389. - Entwicklung der Funktion cos #x03BC; x. Partial- bruchzeriegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus S. 389. - Weitere Beispiele S. 391..- 4. Beweis der FouRiERSchen Reihenentwicklung Die Konvergenz der FouRiERSchen Reihe einer stuckweise glatten Funktion S. 391 - Genauere Untersuchung der Konvergenz - BESSEL- sche Ungleichung S. 396..- 5. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel.- 1. BERNOULLISCHE Polynome und ihre Anwendungen Definition und FOURIER-Entwicklung S. 404 - Erzeugende Funktion und TAYLORSCHE Reihe des trigonometrischen und hyperbolischen Kotangens S. 406 - EULERSCHE Summenformel S. 408 - Anwendungen (konvergente Entwicklungen, Summen von Potenzen, Rekursionsformeln fur die BERNOUIXISCHEN Zahlen, EULERSCHE Konstante, STIRLINGS Formel, Asymptotische Reihenauswertungen) S. 410..- 2. Integration von FouRiERSchen Reihen.- 3. Trigonometrische Interpolation Die Interpolationsformel S. 417.-Beispiele zur trigonometrischen Interpolation S. 421..- Zehntes Kapitel Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgange.- 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik Einfachste mechanische Schwingungen S. 426 - Elektrische Schwingungen S. 428..- 2. Loesung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen Formale Aufloesung S. 429 - Physikalische Deutung der Loesung S. 431 - Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Loesung S. 432..- 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen Allgemeine Bemerkungen S. 433.-Loesung der unhomogenen Gleichung S. 435.-Die Resonanzkurve S. 436 - Nahere Diskussion des Schwingungsablaufes S. 439 - Bemerkungen uber Registrierinstrumente S. 440..- Schlu?bemerkung.